Родился 3 сентября 1950 года в городе Волчанск Харьковской области.  Трудовую деятельность начал в 1973 году помощником мастера на Харьковском авиационном заводе.  <br /><br />С 1974 по 1990 год работал на выборных должностях комсомольских и партийных органов.  С 1990 по 2001 год был председателем Киевского районного в городе Харькове совета.  А. С. Кривцов возглавил один из центральных экономически насыщенных районов Харькова в годы глобальных перемен - годы политического и экономического становления Украины. Благодаря его профессионализму, глубоким знаниям в области экономики и большому опыту организационной работы, Киевский район с честью прошел этот сложный период, стал инициатором ряда экономических и социальных начинаний в городе.  Находясь на должности первого секретаря Киевского райкома Компартии Украины, а затем председателя райсовета и райисполкома, А. С. Кривцов занимался организацией строительства, сдачей и благоустройством нового микрорайона Северной Салтовки.<br /> <br />Принятие в состав Киевского района значительного числа объектов жилья и социально-культурного назначения, благоустройство больших территорий и развитие инфраструктуры требовали серьезных усилий и внимания. С заселением микрорайона население Киевского района увеличилось практически на 50 тысяч человек и приблизилось к 200 тысячам жителей.  В условиях кардинальных изменений политической и социально-экономической системы страны А. С. Кривцов инициативно шел на реформирование районных предприятий, подведомственных отраслей и организаций. Это позволило, с одной стороны, укрепить их способность работать в новых условиях, а с другой - не допустить проявлений социальной напряженности.  Серьезное внимание А. С. Кривцов уделял развитию гуманитарной сферы. В трудное время были сохранены объекты социально-культурной сферы, не было допущено перепрофилирования детских садов, школ, больниц, клубов по месту жительства. <br /><br />Кроме того, с 1991 года началось активное создание учреждений образования нового типа.  Большое внимание уделялось усовершенствованию системы социальной защиты населения, всесторонней помощи ветеранам войны и труда. Особое внимание уделялось социальной защите детей и подростков, в первую очередь детей, лишенных родительской опеки.  Киевский район - единственный в Украине, где начиная с 1996 года патронажные медсестры районной организации Красного Креста обслуживают на дому инфицированных и психически больных, а также онкобольных и больных туберкулезом. Работа медсестер оплачивалась из районного бюджета.  С 2001 по 2005 год работал заместителем председателя Харьковской областной государственной администрации.   С 2006 года - первый заместитель Харьковского городского головы.

26.09.2012 Александр Кривцов уходит с должности первого заместителя мэра города Харькова  Как передает Харьков. Комментарии, об этом в ходе очередной сессии Харьковского горсовета заявил городской голова Геннадий Кернес. Такое решение Кривцов принял в связи с выходом на пенсию.   При этом Кернес отметил, что исполнять обязанности первого заместителя будет заместитель мэра по вопросам жилищно-коммунального хозяйства Андрей Парамонов.