Родился в 1956 году в. Ростов-на-Дону. К середине 1990-х гг. Жил в РФ.

В 2009-2014 гг. Являлся заместителем начальника Главного отдела по борьбе с коррупцией и организованной преступностью (ГВ "К") Главного управления Службы безопасности Украины в г.. Киеве и Киевской области.

В 2014-2015 годах упомянутый в документах, как заместитель начальника Главного управления Службы безопасности Украины в г.. Киеве и Киевской области. В частности, 28 марта 2014 был награжден "за многолетний добросовестный труд, личный весомый вклад в дело обеспечения государственной безопасности, верность военной присяге, образцовое выполнение служебных обязанностей, высокий профессионализм и по случаю 22-й годовщины со дня создания Службы безопасности Украины" почетной грамотой Киевской областной государственной администрации.

14 октября 2016 указом президента Порошенко получил звание генерал-майора.
Работа в Донецком УСБУ.

Работая с марта 2015 начальником Донецкого УСБУ, Куц возглавил мероприятия, было направлено на выявление и разоблачение трех предателей в рядах Донецкого УСБУ (в том числе сотрудника контрразведки и шифровальщика), завербованных российской разведкой - ими оказались Третьяк Александр Александрович (сын экс начальника Луганского УСБУ), Никифоров Валерий Васильевич, и Косяк Евгений Леонидович (экс-заместитель начальника следственного отдела Донецкого УСБУ). Ключевую роль в этом играл тогдашний заместитель начальника Главного отдела контрразведки Управления СБУ в Донецкой области Хараберюш Александр Иванович.

21 августа 2017 начальником Главного управления Службы безопасности Украины в Донецкой и Луганской областях был назначен Александр Куця. Об этом говорится в Указе Президента Украины Петра Порошенко №227 / 2017.

Другим Указом Куця освобожден от должности начальника Управления Службы безопасности Украины в Донецкой области. 

20 июня 2018 года указом Президента Куць назначен на должность председателя Донецкой областной военно-гражданской администрации.