Родился 4 апреля 1965 года в городе Марьинка Донецкой области. Окончил Донецкий институт экономики и хозяйственного права, Учет и аудит, экономист (1999). До 1998 - председатель правления АО Энергосбытпром. 1998-2005 - председатель совета акционеров ОАО Донбассэнергострой, президент ООО Лизинг-центр (г. Донецк). 04.2005-07.2006 - заместитель председателя Донецкой облгосадминистрации. С 11.2007 - народный депутат Верховной Рады Украины VI созыва от блока Наша Украина - Народная Самооборона, № 50 в списке. Член Комитета по вопросам финансов и банковской деятельности (с 12.2007), председатель подкомитета по вопросам небанковских финансовых институтов (с 01.2008).

Женат. Имеет 3-х детей.

5 октября 2013 года во время второго этапа XIV съезда УНП Александр Клименко избран председателем Украинской народной партии. Кандидатуру Клименко путем тайного голосования поддержали 223 делегата съезда. 29 представителей УНП не поддержали ни одной кандидатуры. На должности заместителей председателя УНП избрали Сергея Соловья, Тараса Пастуха, Светлану Николину, Наталью Погожеву, Алексея Мирошниченко